Приведенные выше результаты анализа иллюстрируют ключевое свойство гауссовых распределений, которое обеспечивает функционирование методов калманов-ской фильтрации: тот факт, что экспонента находится в квадратичной форме. Указанное свойство относится не только к одномерному случаю; полное многомерное гауссово распределение имеет следующую форму:

Кроме того, произведение термов в экспоненте ясно показывает, что экспонента также является квадратичной функцией от случайных переменных хi которые относятся к х. Как и в одномерном случае, операция обновления фильтрации сохраняет гауссов характер распределения вероятностей состояний.

Вначале определим общую временную модель, применяемую в процедуре калма-новской фильтрации. И модель перехода, и модель восприятия позволяют применять линейное преобразование с дополнительным гауссовым шумом. Таким образом, получаем следующее:

(15.19)

где F и— матрицы, описывающие линейную модель перехода и ковариацию шума перехода; ни— соответствующие матрицы для модели восприятия. Теперь уравнения обновления для среднего и ковариации в их полном, ужасающе сложном виде становятся таковыми:

(15.20)

гденазывается калмановской матрицей усиления. Хотите — верьте, хотите — нет, но эти уравнения имеют определенный интуитивный смысл. Например, рассмотрим обновление для оценки значения среднего μ для некоторого состояния. Термпредставляет собой прогнозируемое состояние в момент времени t+Ι, поэтомуявляется прогнозируемым результатом наблюдения. Таким образом, термсоответствует ошибке в прогнозируемых результатах наблюдений. Это значение умножается на для корректировки прогнозируемого состояния, поэтомупредставляет собой меру того, насколько важными следует считать новые результаты наблюдения применительно к предсказанию. Как и при использовании уравнения 15.18, соблюдается такое свойство, что обновление дисперсии не зависит от результатов наблюдений. Поэтому последовательность значенийможет быть вычислена в автономном режиме, т.е. фактический объем вычислений, требуемых во время оперативного слежения, становится весьма скромным.