После определения логики, которая допускает использование объектов, становится вполне естественным стремление к созданию средств, позволяющих выражать свойства целых коллекций объектов, а не перебирать эти объекты по именам. Это позволяют сделать кванторы. Логика первого порядка включает два стандартных квантора, называемых кванторами всеобщности и существования.

Применение квантора всеобщности

Напомним, с какими трудностями мы сталкивались в главе 7, пытаясь выразить общие правила в пропозициональной логике. С другой стороны, в логике первого порядка квинтэссенцией становятся такие правила, как: "В квадратах, соседних с тем квадратом, где находится вампус, чувствуется неприятный запах" и "Все короли являются людьми". Первое из этих правил будет рассматриваться в разделе 8.3, а второе правило, "Все короли являются людьми", записывается в логике первого порядка следующим образом:

Кванторобычно произносится как "для всех ...". (Следует помнить, что перевернутая буква "А" обозначает "all" — все.) Таким образом, в этом высказывании утверждается следующее: "Для всех х, если x — король, то xχ — человек". Символ x называется переменной. В соответствии с общепринятым соглашением в качестве переменных применяются строчные буквы. Переменная сама является термом и как таковая может также служить параметром функции, например LeftLeg(x). Терм без переменных называется базовым термом.

Интуитивно ясно, что в высказывании Vx Ρ, где Ρ— любое логическое выражение, утверждается, что Ρ является истинным для каждого объекта х. Точнее, высказывание Vx Ρ истинно в данной модели при данной интерпретации, если выражение Ρ истинно при всех возможных расширенных интерпретациях, сформированных из данной интерпретации, где каждая расширенная интерпретация задает элемент проблемной области, на которую ссылается объект χ

На первый взгляд такое определение может показаться сложным, но оно фактически представляет собой лишь формальное определение интуитивного смысла применения квантора всеобщности. Рассмотрим модель, показанную на рис. 8.1, и намеченную интерпретацию, которая ее сопровождает. Эту интерпретацию можно расширить следующими пятью способами: